Combinaciones y permutaciones

¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
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"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.


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"La combinación de la cerradura es 472": ahora importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
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Si el orden no importa, es una combinación.
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Si el orden importa es una permutación.


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¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.

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Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:
  1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
  2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
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Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
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La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
  • 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
  • 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
  • 1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...

= 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
external image permutation-no-repeat.png
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16!

16!

20,922,789,888,000
= 3360



(16-3)!
13!
6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10!

10!

3,628,800
= 90



(10-2)!
8!
40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
external image permutation-notation.png

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
  1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
  2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
Combinaciones con repetición.
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Pág.ppal.


Definición:
Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

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2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
  • imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
  • después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa
El orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
external image combinations-no-repeat-a.png
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
external image combinations-no-repeat.png
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)
Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
external image combination-notation.png

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16!

16!

20,922,789,888,000
= 560



3!(16-3)!
3!×13!
6×6,227,020,800
O lo puedes hacer así:
16×15×14

3360
560


3×2×1
6

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
external image combinations-no-repeat-b.png
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
16!

16!

16!
= 560



3!(16-3)!
13!(16-13)!
3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   **560**   1820  4368  ...


Definición:
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden constriur se puede calcular mediante la fórmula:

external image comb.gif

external image combinations-repeat.png
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa)
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
external image combinations-repeat-a.png
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
(5+3-1)!

7!

5040
= 35



3!(5-1)!
3!×4!
6×24